ピタゴラスと黄金比

　　　　　西欧の古代史をひも解くとしばしば、黄金比という言葉がよく出てくる。説明を探していくと、たいていは現代数学との関連付けがてんこ盛りなので、気がめいる。いわく、フィボナッチ数列、葉序のパターン、リュカの数列などである。
　　　だが、『黄金比；スコット・オルセン』はまずピタゴラスと関連付けてくれる。そう、あのピタゴラスの定理で有名なピタゴラスである。そしてこちらの『ピタゴラスの線分の比喩」こそが代数学と幾何学の分節点の象徴にふさわしい。

　　定義は「長い方に対する全体比が短い方に対する長い方の比と等しくなるような線分式。このときの全体の比をφと名付ける。そうすると小さい方の比は１／φ。その象徴様式は以下。

フィボナッチ数列

「０，１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，２３３，３７７，６１０、９８７、１５９７（略１６００）・・・・」

黄金比は

無理数Φ≒１．６１８０３３９・・・　　１／Φ≒０．６１８・・・・　　　

ピタゴラスの比の中の数の比

・５／４＝１．２５　　　　　　　　　４／５＝０．８
・５／３≒１．６６６６６　　　　　　３／５≒０．６
・４／３≒１．３３３３　　　　　　　３／４＝０．７５
参考値
π≒３．１４・・・　　　　　　　　１／π≒０．３１８３０
√３≒１．７３２・・・　　　１／√３≒０．５７８・・
２√３≒３．４６２・・・　　　１／２√３≒０．２８８・・
略円周率３　　　　　　　　１／３≒０．３３３３

　　この本を繰っていくうちに西欧知識人における黄金比に関する暗黙知の総ざらいという感がしてきたので、さらに抄録しておく。

音程；完全８度

　　なんのことはない。見慣れたピアノの鍵盤についての説明。下のドから上のドまで８つの鍵盤があって、中に５つの黒鍵があるということを「完全八度の中に１３の鍵盤がある」と言語化している。これにはプラトンの教えという風に加上説で飾られれていた。それにしても、今までなにげなく使っていたけどなんで漢字〈鍵〉を使うことになったのだろう。
　　　　さらに、ここで大昔、まだ給与所得者だった時のことを思い出した。藤枝守さんに教えてもらったのだが、今のピアノって工業製品としての品質において商業的に成功したのであって、いろいろ不満を持っている人も多いらしい。そういう人たちが「ピタゴラスの純正律」を合言葉にある種の復古運動を起こしてきているらしい。

賢者の石；五陵形

　ヒトデから五弁花まで、ここに自然の神秘の究極があると最後の章節に書かれる。そして、正五角形の内角が１０８°であると書かれているのをみて、探し物が見つかった気がした。除夜の鐘はなぜ、１０８つなのか。源氏物語はなぜ、五四帖なのか。漢字字書の最初の部位数は５４０だったのか。

正ｎ角形		内角の和		一つの内角		内角の半分
正４角形		３６０°		９０°		４５°
正５角形		５４０°		１０８°		５４°
正６角形		７２０°		１２０°		６０°
正７角形		９００°		１２８．５７・・°		６４．２８・・°
正８角形		１０８０°		１３５°		６７．５°
正９角形		１２６０°		１４０°		７０°
正１０角形		１４４０°		１４４°		７２°

おもしろいのは、七角形だけが無理数を生ずることだ。

逆語序対〈４５・５４〉
逆語序対〈４／５・５／４〉
逆語序対〈４＊５・５＊４〉
逆語序対〈４ー５・５ー４〉
逆語序対〈４＋５・５＋４〉

連続する三つの数〈６７．５°；　　正八角形の内角〉
連続する三つの数〈７６５＝１５＊５１〉

両対語〈ソクラテス・プラトン〉〈ピタゴラス・アリストテレス〉

組語〈１０８度 ・ ５４０／５ ・ ５４＊２ ・ 正五角形の内角度〉